Hiperbolikus binomiális együtthatókkal kapcsolatos diofantikus problémák

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), minden idők egyik legnagyobb matematikusa szerint „a matematika a tudományok királynője, és a számelmélet a matematika királynője”.

Kutatási területem a matematikán belül a számelmélet, ami az egész számok oszthatósági tulajdonságainak vizsgálatából fejlődött ki még az ókorban (vagy még régebben), és azóta folyamatosan fejlődő, szerteágazó tudományterületté nőtt, ami szorosan kapcsolódik a matematika szinte minden más ágához és az informatikához is. A számelméletet az egyszerűen megfogalmazható problémák jellemzik, amelyeknek sokszor nagyon bonyolult a megoldása.

Szűkebb szakterületem a diofantikus egyenletek elmélete, melynek kutatása a Debreceni Egyetemen Dr. Győry Kálmán és tanítványai révén szép hagyományokkal bír. Egy egyenletet az ókori görög tudós Diofantosz (200 – 284) nyomán diofantoszinak vagy diofantikusnak nevezünk, ha megoldásait az egész számok körében keressük. Az ilyen egyenletek megoldásának nincs általános módja. Vizsgálatuk alapkérdései: a megoldhatóság kérdése, a megoldásszám kérdése (pl. van-e végtelen sok megoldás, vagy ha nincs, akkor tudjuk-e korlátozni a számukat vagy a nagyságukat?), valamint az összes megoldás meghatározása. Vannak egyenlettípusok, amelyeknél mindegyik kérdésre ismert a válasz (azaz meg tudjuk őket oldani). Más egyenleteknél előfordul, hogy csak azt tudjuk, hogy nem lehet végtelen sok megoldásuk (ha van), vagy még ennyit sem. Rengeteg a nyitott kérdés. Egyik másik egyenlet (mint a Fermat- vagy a Catalan-egyenlet) megoldása gyakran évszázadokat várat magára.

A binomiális együtthatók (amit sokszor úgy olvasunk, hogy „n alatt a k”) jól ismertek lehetnek a kombinatorikai kiválasztási feladatokból, a binomiális tételből vagy éppen Pascal (1623 – 1662) híres háromszögéből, amely utóbbinak éppen az n-edik sora k-adik elemével egyenlő. Egyik aktuális kutatómunkámban ezek egy általánosításával, a 2016-ban Németh, Belbachir és Szalay által bevezetett ún. hiperbolikus Pascal háromszögek elemeiként megadható ún. hiperbolikus binomiális együtthatókkal foglalkozom. A klasszikus binomiális együtthatók számos tulajdonsága jól ismert. Ismert például. hogy ha a Pascal háromszög n-edik sorában szereplő binomiális együtthatókat  összeadjuk, akkor 2 n-edik hatványát kapjuk. A hiperbolikus binomiális együtthatókról kevés tudható, nem ismert pl. a konkrét alakjuk vagy kiszámítási módjuk. Bizonyos paraméterek függvényében azonban kifejezhető az, hogy hány található a hiperbolikus Pascal háromszög egy adott sorában, illetve ezek összege. Kutatásom célja elsőként annak vizsgálata, hogy a hiperbolikus Pascal háromszög egy sorának elemeit összeadva kaphatunk-e kettőhatványt (ahogy ez a klasszikus esetben mindig igaz), vagy általánosabban, kaphatunk-e bármilyen teljes hatványt. A kérdés tovább is általánosítható, és különböző diofantikus egyenletek vizsgálatára vezet. Célom a hiperbolikus binomiális együtthatók további vizsgálata is, pl. az explicit alakjuk meghatározása.